Discussion:Espace métrique

Il faut parler de:

• des exemples
• surtout, des exemples pour montrer que l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas la boule fermée correspondante!
• des distances non-archimédiennes, et cette merveilleuse propriété: tout point d'une boule est son centre!
• comment on définit la convergence des suites dans ce cas
• critère de Cauchy
• propriété de Bolzano-Weierstrass, et équivalence avec la propriété de Borel-Lebesgue.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Snark Boojum (discuter), le 2/2/2003.

Houla!

pas d'accord! La notation ${\overline {B}}$, c'est pour "le plus petit fermé qui contient la boule ouverte"; et c'est une proposition que dans certains cas très limités, alors c'est la même chose que la boule fermée correspondante. En général ce résultat est faux!

Il faut bien distinguer "B(a,r)=boule ouverte ..." qui est une notation, et "B(ligne au dessus)=boule fermée" qui est une proposition, avec donc des hypothèses!

Tiens, justement, cette erreur montre l'intérêt du second point de la liste (en début de cette page)!

Snark, 11/7/2003, 9 h 37

Désolé, je n'était pas très réveillé, quand j'ai fait cette modif' boiteuse... Mea culpa. Tout à fait d'accord pour l'explication dans l'article :) — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Jmtrivial (discuter), le 11/7/2003, 9 h 42‎.

Ca dépend! La notation avec une barre peut très bien désigner la boule fermée dans un espace métrique, c'est un abus de notation qui peut être dangereux mais qui est couramment utilisé, il s'agit simplement de bien le préciser au départ.

Je supprime la partie relative aux géométries non-euclidiennes, cela n'a aucun rapport avec les espaces métriques.

Mû, 21/7/2006

Erreur

Je ne suis pas d’accord avec ce qui est dit dans cet article… L’adhérence de la boule ouverte est inclue dans la boule fermée en règle général et non l’inverse !

L’exemple traité dans le chapitre Adhérence montre bien qu’il y a une erreur. En utilisant la métrique triviale (la distance entre deux points distincts est 1 sinon la distance vaut 0) sur un ensemble X à plus de 2 éléments, on obtient :

La boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est ce point. L'adhérence de cette boule ouverte est ce même point. La boule fermée de rayon 1 centrée en un point est par contre l'espace entier.

Donc on a dans ce cas on a bien que l’adhérence de la boule ouverte est inclus dans la boule fermée…

87.91.107.139 14 octobre 2006 à 18:09 Gaël

effectivement (avec stricte inclusion), et j'ai corrigé cela (après vérification, c'est traité correctement dans adhérence (mathématiques). Un autre exemple plus simple à mon avis : boules de rayon 1 dans l'ensemble N des entiers. Peps 14 octobre 2006 à 21:02

Similarité

Bonjour. Je ne trouve pas très clair le passage de l'article qui dit que les deux notions différentes de similarité entre deux espaces métriques se recoupent pour l'espace euclidien muni de sa distance usuelle. Est-ce que cela signifie qu'un espace métrique est similaire avec l'espace euclidien dans le premier sens si et seulement si il l'est dans le second sens? Est-ce que cela signifie plutôt que deux sous-espaces métriques de l'espace euclidien usuel seront similaires dans un sens si et seulement si ils le sont dans l'autre?

Bref, il me semble que la formulation est ambigue.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Philomath (discuter), le 2 novembre 2009

Il est clair que la seconde notion de similarité généralise la première. En outre, il est facile de trouver deux parties du plan (de trois points chacune) qui soient similaires dans le second sens mais pas dans le premier : il suffit de prendre les sommets de deux triangles isocèles non semblables. Je suppose donc qu'il fallait comprendre que les deux notions de similarité coïncident entre deux espaces euclidiens, ce qui est évident puisque la similarité implique l'homéomorphisme, lequel implique l'égalité des dimensions donc l'isométrie. Ambigraphe, le 2 novembre 2009 à 19:13

D'accord pour la première partie de la réponse précédente avec l'exemple des trois sommets de certains triangles.

En revanche, l'esquisse de démonstration dans la deuxième partie de la réponse n'est pas convaincante. L'égalité des dimensions est une propriété topologique qui n'a pas grand chose à voir, me semble-t-il, avec la notion d'isométrie. Deux variétés peuvent parfaitement avoir la même dimension sans être isométriques (exemple simple: le plan euclidien et la sphère) Il faudrait donc fournir une autre démonstration pour s'assurer de ce que voulait dire l'auteur de l'article en disant que les deux notions de similarité "coincident" pour l'espace euclidien. On a un peu avancé mais la question reste irrésolue. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Philomath (discuter), le 19 octobre 2010

Ambi voulait juste rappeler que si 2 espaces euclidiens, disons R^m et Rⁿ, sont homéomorphes alors m=n (donc du coup ils sont isométriques). Je pense plutôt que l'auteur affirmait l'équivalence dont Ambi a prouvé la fausseté, mais je viens de lui laisser un message sur sa pdd pour qu'il passe nous éclairer. Anne 19/10/10 à 19:28

Géometrie métrique

Actuellement ce titre (d'ailleurs mal typographié) redirige ici, de même que en:Metric geometry redirige vers en:Metric space. Mais je me demande si c'est une bonne idée, au vu de en:Distance geometry. Anne 30/10/10

Erreur

Bonsoir, sauf erreur de ma part il y a quelque chose de faux dans la partie "Produit d'espaces métriques": il est dit que pour toute norme N sur Rn, on peut construire une certaine distance dN sur le produit E1x...xEn. C'est vrai pour les normes p, mais pas pour toute norme. Pour le vérifier numériquement on peut prendre par exemple n=2, E1=E2=R muni de la métrique usuelle, la norme sur R2 N((x,y))=sqrt ((x-y)^2 + 1/2*(x+y)^2) et les points X=(0,0), Y=(0.83,0.01) et Z=(0.42,0.15), et on trouve d(X,Y) > d(X,Z)+d(Z,Y).--Helv (d) 1 mars 2012 à 03:13 (CET)

Bonjour, vous avez raison ! La même erreur a été corrigée le 10/07/08 dans la page correspondante en anglais. Je vais faire de même ici. Merci ! Anne, 1/3/2012 à 10:34

Espaces métriques propres

Section transférée de ma pdd le 17/4/17 à 15 h 33

bonsoir, je ne comprends pas bien cet exemple. Un espace discret est localement compact, puisque tout point est un voisinage de lui-même.( Par ailleurs, s'il est infini, les boules fermées de rayon 2 ne sont pas compactes)Cdt Lleuwen (discuter) 16 avril 2017 à 22:16

Tout à fait, et donc c'est bien un contre-exemple de la réciproque (c'est-à-dire un métrique localement compact non propre). Anne, 22 h 23

désolé vous avez tout à fait raison ! cela étant dit, un contre-exemple connexe serait intéressant.Lleuwen (discuter) 17 avril 2017 à 09:40

Je dis peut-être une bêtise, mais ne suffit-il pas de relier tous les points de l'espace précédent, autrement dit, munir le graphe complet $K_{\omega }$ d'une métrique définie sur le segment [a,b] par la métrique du segment [0,1], sur le triangle {abc) par la métrique du triangle équilatéral euclidien, et en prenant la distance 1 pour tous les autres couples de points ?--Dfeldmann (discuter) 17 avril 2017 à 10:15

Je ne comprends pas. Tu prends un ensemble infini discret et tu remplaces, sur un certain sous-ensemble équipotent au contour d'un triangle, la distance discrète par la distance euclidienne ? Ça reste non connexe (si ça reste bien une distance, ce que je n'ai pas vérifié). Mais il y a des exemples sur math.stackexchange. Anne, 10 h 41

Non, je complète mon espace discret en joignant tous les points deux à deux par des segments unités (les arêtes du graphe) et en munissant le tout d'une métrique compatible...--Dfeldmann (discuter) 17 avril 2017 à 10:51

Ah ouiii ! Et il est complet, comme le dernier exemple de math.stackexchange. Pour un connexe non complet, il suffisait, comme ils disent là-bas, de prendre ]0, 1[ usuel. Anne, 11 h 05

┌────────────┘
Cet ex est intéressant mais n'a pas l'air d'être localement compact. Lleuwen (discuter) 17 avril 2017 à 15:17

Je ne sais pas duquel tu parles mais pour moi, les 3 exemples (celui de Dfeldmann, ]0, 1[, et R muni de la distance d(x,y) = min(|x-y|, 1)) sont localement compacts. Anne, 15 h 46

prenons l'exemple de Dfeldmann construit à partir du graphe complet dont les sommets forment un ensemble infini dénombrable

la sphère de rayon 1/2 centrée sur un sommet contient une infinité" dénombrable de pts dont les distances mutelles valent 1

PS sur wp le tutoiement n'est pas une obligation. Je préfère l'éviter Cdt Lleuwen (discuter) 17 avril 2017 à 16:01

Je ne vois pas les points dont vous () parlez : tous les points à distance <= k <=1/2 de P sont (pour la métrique que j'ai définie) sur une arête issue de P ; leur distance mutuelle est donc inférieure à k (puisque deux arêtes ayant un sommet commun forment un triangle équilatéral)... C'est même, si je ne m'abuse, cet argument qui prouve que la distance que j'ai définie en est bien une. À dire vrai, dans un espace métrique, tous les points d'une boule de rayon r sont à distances mutuelles <= 2r, non ? --Dfeldmann (discuter) 17 avril 2017 à 16:30

En revanche, je ne suis plus si sûr que "mon" espace soit localement compact. Va falloir que j'y réfléchisse plus sérieusement.--Dfeldmann (discuter) 17 avril 2017 à 17:00

Il l'est car tout point a un voisinage homéomorphe à un segment, ou à 3 segments de R² d'extrémité commune. Anne, 17 h 47 hara-kiri à 20 h 44

pourquoi 3 ? s'agissant d'un graphe complet comme il est écrit plus haut il y a une infinité de segments ou alors je n'ai rien compris à cette construction. Il est clair que cette discussion serait plus efficace si on pouvait dessiner ! Cdt Lleuwen (discuter) 17 avril 2017 à 19:06

Oups, vous avez raison tous deux ! Un bouquet infini de segments n'est pas compact, puisque l'ensemble des extrémités n'a pas de point d'accumulation. (J'ai bon, là ?) Anne, 20 h 44

Il semble qu'un espace métrique localement compact est propre si et seulement si il existe un $a$ tel que l'application

$x\mapsto d(a,x)$

soit propre (c'est vrai alors pour tous les $a$) je ne connais pas de ref pour ce résultat qui doit être "folklorique" donc je ne le mets pas dans l'article. Lleuwen (discuter) 19 avril 2017 à 17:40

C'est facilement sourçable ([1], [2]) mais ça va de soi donc je ne sais pas si ça vaut le coup de le mettre. Anne, 20/4/17, 15 h 04

Transfert de quelques remarques de WP:PàF

1. il faudrait homogénéiser les notations (définition de "nombre positif", R+). Je propose d'ajouter une section au début sur les notations utilisées (en Français de France, x positif signifie x>=0 ?)
2. distance->R donne la même chose que distance->R+, avec les axiomes. La version distance->R est plus élégante.

--92.152.235.131 (discuter) 18 août 2020

1. Ce serait plutôt à faire dans Distance (mathématiques) (d'autant plus que je viens d'éliminer d'ici la définition redondante) mais à mon avis plutôt nulle part. La précision "positif ou nul" et le lien Nombre positif suffisent.
2. C'est déjà expliqué (plus en détail) et sourcé, dans Distance (mathématiques).

Anne, 19/8, 7 h 19

Métrique (mathématiques) et Espace métrique

Discussion transférée depuis Wikipédia:Pages à fusionner
Manifestement, il s'agit du même sujet. Le terme "espace métrique" est plus clair, métrique désigne autre chose (tenseur métrique ?). --92.152.235.131 (discuter) 18 août 2020

• Pour Il s'agit effectivement d'un doublon.--William Jexpire (discuter) 23 août 2020 à 18:10 (CEST)
• Pour et avec "espace métrique" comme titre final ; le terme "métrique" est un peu un anglicisme, pas toujours utilisé à bon escient. Michel421 (discuter) 24 août 2020 à 12:32 (CEST)
• Pour la distinction me semble trop ténue pour justifier deux articles Xiawi (discuter) 6 octobre 2020 à 15:11 (CEST)

N'ayant pas les compétences en math et assimilé, il serait souhaitable que quelqu'un fasse la fusion.  Xiawi, William Jexpire et Michel421 :. Tarte 17 octobre 2020 à 13:02 (CEST)

•  Neutre Je ne m'y connais pas du tout en maths, mais je vois qu'il y a deux articles en anglais et dans d'autres langues. Donc il y a peut-être une distinction à prendre en compte. Et vu que personne n'a réalisé la fusion depuis août, je suggère d'archiver cette proposition pour le moment. Apollinaire93 (discuter) 12 décembre 2020 à 23:45 (CET)

Notification

La définition de la topologie comme union des boules ouvertes est erronée car il s'agit de l'ensemble des ouverts et non l'ensemble de l'union des ouverts, l'ensemble I ne peut pas etre quelquonque car les ouverts d'un intervalle sont au moins dénombrables et non finis . Boutarfa Nafia (discuter) 5 avril 2022 à 16:55 (CEST) Les sous-ensembles de {\displaystyle E} qui s'écrivent comme le complé — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Boutarfa Nafia (discuter), le 5 avril 2022 à 17:01 (CEST)

Non non, tout va bien, la définition est correcte : la topologie est bien l'ensemble des ouverts, et un ouvert est bien une réunion quelconque de boules ouvertes (parfois même une seule). Anne (discuter) 5 avril 2022 à 17:16 (CEST)