체 K {\displaystyle K} 벡터 공간 V {\displaystyle V} 기저 는 다음 두 조건을 만족하는, V {\displaystyle V} B = { b 1 , … , b n } ⊆ V {\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}\subseteq V}
(선형독립 ) 임의의 c 1 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K} c 1 b 1 + ⋯ + c n b n = 0 {\displaystyle c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}=0} c 1 = ⋯ = c n = 0 {\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{n}=0}
(선형생성 ) 임의의 벡터 v ∈ V {\displaystyle v\in V} c 1 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K} v = c 1 b 1 + ⋯ + c n b n {\displaystyle v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}} 이때 간단히 b 1 , … , b n {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}} V {\displaystyle V}
보다 일반적으로, 기저 는 다음 두 조건을 만족하는 V {\displaystyle V} B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V}
(선형독립) 임의의 c 1 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K} b 1 , … , b n ∈ B {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B} c 1 b 1 + ⋯ + c n b n = 0 {\displaystyle c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}=0} c 1 = ⋯ = c n = 0 {\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{n}=0}
(선형생성) 임의의 벡터 v ∈ V {\displaystyle v\in V} c 1 , … , c n ∈ K {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K} b 1 , … , b n ∈ B {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in B} v = c 1 b 1 + ⋯ + c n b n {\displaystyle v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}} 샤우데르 기저 와 구별하기 위해, 하멜 기저 (영어 : Hamel basis )라는 용어를 사용하기도 한다.
모든 벡터는 기저의 선형결합 으로 유일하게 표현되며, 서로 다른 벡터는 서로 다른 표현을 갖는다. 따라서 기저는 벡터를 식별하는 좌표를 부여한다.
벡터 공간의 차원 은 기저 집합 의 원소의 개수이다.
기저의 종류
편집
유클리드 공간 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} e 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle e_{1}=(1,0)} e 2 = ( 0 , 1 ) {\displaystyle e_{2}=(0,1)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} n {\displaystyle n} 단위행렬 의 열벡터 e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 표준기저 (標準基底, 영어 : standard basis )라고 한다.
벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, b 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle b_{1}=(1,0)} b 2 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle b_{2}=(1,1)} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
실수 다항식환 R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} { 1 , x , x 2 , … } {\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots \}}
정규직교기저
편집
( V , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|)} 순서체 K {\displaystyle K} 노름 공간 이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 V {\displaystyle V} B {\displaystyle B} 정규기저 (영어 : normal basis )라고 한다.
모든 b ∈ B {\displaystyle b\in B} ‖ b ‖ = 1 {\displaystyle \|b\|=1} ( V , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 순서체 K {\displaystyle K} 내적공간 이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 V {\displaystyle V} B {\displaystyle B} 직교기저 (영어 : orthogonal basis )라고 한다.
모든 b , b ′ ∈ B {\displaystyle b,b'\in B} b ≠ b ′ {\displaystyle b\neq b'} ⟨ b , b ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle b,b'\rangle =0} 정규기저이자 직교기저인, 내적공간 의 기저를 정규직교기저 (영어 : orthonormal basis )라고 한다.
이를테면, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
유클리드 공간 에서 점과 그 좌표가 일대일 대응하는 것과 비슷하게, 일반 벡터 공간에서 주어진 기저에 따라 좌표 (座標, 영어 : coordinate )를 구성할 수 있다. 다만, 유클리드 공간의 표준기저가 자연스런 순서를 갖춘 것처럼, 일반 벡터 공간에서도 순서를 추가한 기저 즉 순서기저 (順序基底, 영어 : ordered basis )가 필요하다.
구체적으로, 벡터 공간 V {\displaystyle V} 순서기저 는 전순서 를 갖춘, V {\displaystyle V} 자연수 첨수를 주는 것으로 족하다. 유한차원 벡터 공간 V {\displaystyle V} B = { b 1 , … , b n } {\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}} v ∈ V {\displaystyle v\in V} B {\displaystyle B} 좌표 는 v = c 1 b 1 + ⋯ + c n b n {\displaystyle v=c_{1}b_{1}+\cdots +c_{n}b_{n}} 튜플
( v ) B = ( c 1 , … , c n ) {\displaystyle (v)_{B}=(c_{1},\ldots ,c_{n})} 이다.
이에 따라, 벡터 공간의 순서기저가 주어졌을 때, 벡터는 그 좌표와 일대일 대응한다.
기저의 변환
편집
벡터 공간 V {\displaystyle V} B = { v 1 , … , v n } , B ′ = { v 1 ′ , … , v n ′ } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\},{\mathfrak {B'}}=\{v'_{1},\ldots ,v'_{n}\}} [ v ] B , [ v ] B ′ {\displaystyle [v]_{\mathfrak {B}},[v]_{\mathfrak {B'}}} B , B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}} [ I ] B , B ′ {\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B'}}}
[ v ] B ′ = [ I ] B , B ′ [ v ] B {\displaystyle [v]_{\mathfrak {B'}}=[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}[v]_{\mathfrak {B}}} 기존 기저 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B'}}}
v j = ∑ k = 1 n a k , j v k ′ for j = 1 , ⋯ , n {\displaystyle v_{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k,j}v'_{k}\qquad {\text{for }}j=1,\cdots ,n} 이 때, [ v j ] B ′ = [ a 1 , j ⋮ a n , j ] {\displaystyle [v_{j}]_{\mathfrak {B'}}={\begin{bmatrix}a_{1,j}\\\vdots \\a_{n,j}\end{bmatrix}}}
만약 E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} E {\displaystyle {\mathfrak {E}}} [ I ] B , E {\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}} B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} [1] B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B'}}}
[ I ] B , B ′ = [ I ] E , B ′ [ I ] B , E = ( [ I ] B ′ , E ) − 1 [ I ] B , E {\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}=[I]_{{\mathfrak {E}},{\mathfrak {B'}}}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}=([I]_{{\mathfrak {B'}},{\mathfrak {E}}})^{-1}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}} 주석과 참고 자료
편집
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453d1013f9dd290be70d5fe534e0d3311b0a7c6a)
![{\displaystyle [v]_{\mathfrak {B}},[v]_{\mathfrak {B'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7d93ab19c15e8cfa8ac28e39d7803de71a84f6e)
![{\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3160d5b55427e2ac955aadffa4adf30f583a7acb)
![{\displaystyle [v]_{\mathfrak {B'}}=[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}[v]_{\mathfrak {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb87f70873132483bb20b624eb395fe25aed129)
![{\displaystyle [v_{j}]_{\mathfrak {B'}}={\begin{bmatrix}a_{1,j}\\\vdots \\a_{n,j}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d18f869d9d4f5266216b1c020df88539d135a5)
![{\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2374ab0a24fc3d413c7df7201ea60a6b8b6085e)
![{\displaystyle [I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {B'}}}=[I]_{{\mathfrak {E}},{\mathfrak {B'}}}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}=([I]_{{\mathfrak {B'}},{\mathfrak {E}}})^{-1}[I]_{{\mathfrak {B}},{\mathfrak {E}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114b3bbf5c0f0be109da14ea52a43ec2fcab0e03)