체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.[1][2]

정의 편집

(실수  일계수 다항식의 집합을  로 적자.)

실수  다항식  에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   체비쇼프 다항식이라고 한다.

  • (재귀적 정의)  이며,  이며,  이다.
  • (삼각 함수 정의) 항등식  가 성립한다.
  •   에서 서로 다른  실근을 가지며,  에서 절댓값이 서로 같은  극값을 갖는다.
  • (최소 상한 노름) 

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면    차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는  , 우변의 실수부는,   의 다항식이다.

성질 편집

직교성 편집

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간  에서 직교한다.

 

즉, 다음이 성립한다.

 

대칭 편집

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

 

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 차 체비쇼프 다항식  닫힌구간   속에서  개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

 

분지점 편집

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

 

로 여길 때,  의 경우 다음이 성립한다.

  • 분지점에서의 값들은 모두   또는  이다.
  • 값이  인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
  •  의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

 

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점  를 가지며, 그 값은   이다. 마찬가지로,

 

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점   및 분지 지표 3의 분지점  를 가지며, 그 값은 각각   이다.

이에 따라,  벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

 

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낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)

 

역사 편집

파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.[3]

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.

참고 문헌 편집

  1. Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5. 
  2. Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5. 
  3. Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7: 539–586. 

외부 링크 편집