수학 에서 체비쇼프 다항식 (Чебышёв多項式, 영어 : Chebyshev polynomial )은 삼각 함수 의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.[1] [2]
(실수 n {\displaystyle n} 차 일계수 다항식 의 집합을 M o n ( n ; R ) {\displaystyle \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )} 로 적자.)
실수 n {\displaystyle n} 차 다항식 T n ∈ R [ x ] {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]} 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 을 n {\displaystyle n} 차 체비쇼프 다항식 이라고 한다.
(재귀적 정의) T n ( x ) = 2 x T n − 1 ( x ) − T n − 2 ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(x)=2x\operatorname {T} _{n-1}(x)-\operatorname {T} _{n-2}(x)} 이며, T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{0}(x)=1} 이며, T 1 ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {T} _{1}(x)=x} 이다.
(삼각 함수 정의) 항등식 T n ( cos θ ) = cos n θ {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(\cos \theta )=\cos n\theta } 가 성립한다.
T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 은 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} 에서 서로 다른 n {\displaystyle n} 개 실근 을 가지며, [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 에서 절댓값 이 서로 같은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개 극값 을 갖는다.
(최소 상한 노름 )1 2 n − 1 max x ∈ [ − 1 , 1 ] | T n ( x ) | = min f ∈ M o n ( n ; R ) max x ∈ [ − 1 , 1 ] | f ( x ) | {\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|} 드무아브르의 공식 의 실수부를 비교하면 cos n x {\displaystyle \cos nx} 가 cos x {\displaystyle \cos x} 의 n {\displaystyle n} 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 cos n x {\displaystyle \cos nx} , 우변의 실수부는, cos x {\displaystyle \cos x} 와 sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} 의 다항식이다.
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 에서 직교한다.
d x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} 즉, 다음이 성립한다.
∫ − 1 1 T n ( x ) T m ( x ) d x 1 − x 2 = 0 ( n ≠ m ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)}
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
T n ( − x ) = ( − 1 ) n T n ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)}
n {\displaystyle n} 차 체비쇼프 다항식 T n {\displaystyle \operatorname {T} _{n}} 은 닫힌구간 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 속에서 n {\displaystyle n} 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
x k = cos ( 2 k − 1 ) π 2 n ( k ∈ { 1 , 2 , … , n } ) {\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})}
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
T n : C P 1 → C P 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} 로 여길 때, n > 0 {\displaystyle n>0} 의 경우 다음이 성립한다.
분지점 에서의 값들은 모두 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 또는 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 이다.
값이 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무 이다.)예를 들어,
T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 = 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) + 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1} 의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 x ∈ { 0 , ∞ ^ } {\displaystyle x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}} 를 가지며, 그 값은 T 2 ( 0 ) = − 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{2}(0)=-1} 및 T 2 ( ∞ ^ ) = ∞ ^ {\displaystyle \operatorname {T} _{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}} 이다. 마찬가지로,
T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x = ( x − 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 + 1 = ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1} 의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 x ∈ { − 1 / 2 , 1 / 2 } {\displaystyle x\in \{-1/2,1/2\}} 및 분지 지표 3의 분지점 x = ∞ ^ {\displaystyle x={\widehat {\infty }}} 를 가지며, 그 값은 각각 T 3 ( ± 1 / 2 ) = ∓ 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{3}(\pm 1/2)=\mp 1} 및 T 3 ( ∞ ^ ) = ∞ ^ {\displaystyle \operatorname {T} _{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}} 이다.
이에 따라, T n : C P 1 → C P 1 {\displaystyle \operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}} 는 벨리 사상 을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡 은 n + 1 {\displaystyle n+1} 개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프 이다.
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS 의 수열 A28297 )
T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 T 9 ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x T 10 ( x ) = 512 x 10 − 1280 x 8 + 1120 x 6 − 400 x 4 + 50 x 2 − 1 T 11 ( x ) = 1024 x 11 − 2816 x 9 + 2816 x 7 − 1232 x 5 + 220 x 3 − 11 x {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}
파프누티 체비쇼프 가 1854년에 도입하였다.[3]
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn 는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어 : Tchebycheff ) 또는 독일어 표기 (독일어 : Tschebyschow )에서 딴 것이다.
참고 문헌
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↑ Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5 .
↑ Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi :10.1201/9781420036114 . ISBN 978-0-8493-0355-5 .
↑ Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7 : 539–586.
외부 링크
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