포털:고등학교/수학/적분과 통계/부정적분 공식

이 개념과 관련한 다른 개념이나 참고할 개념이 있습니다. 기본적인 미분 공식

자료 정보
교육 수준: 이 자료는 고등학교 강의 수준의 자료입니다.
자료 형식: 이 자료는 문서형식의 자료입니다.
과목 정보: 이 자료는 수학 과목의 자료입니다.

일반적인 적분공식

• $\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx\qquad {\mbox{(}}a{\mbox{ constant)}}\,\!$
• $\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$
• $\int {f'(x) \over f(x)}\,dx=\ln {\left|f(x)\right|}+C$

유리함수의 적분

• $\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ if }}n\neq -1$
• $\int x^{-1}\,dx=\ln {\left|x\right|}+C$

삼각함수의 적분

• $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
• $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
• $\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
• $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
• $\int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C$
• $\int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C$

증명

아래 공식의 증명이 필요합니다.

• $\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
• $\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$
• $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$
• $\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
• $\int \sin ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx-\sin mx\cos mx)}+C$
• $\int \cos ^{2}mx\,dx={{\frac {1}{2m}}(mx+\sin mx\cos mx)}+C$

지수함수의 적분

• $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
• $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

로그함수의 적분

• $\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$
• $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

증명

부분적분법을 이용합니다.

• $\int \ln {x}\,dx=x\ln x-\int x\cdot {\frac {1}{x}}\,dx=x\ln {x}-x+C$